Anwendungsorientierte Wahrscheinlichkeitsrechnung

Vorlesung, Sommersemester 2006

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Aktuelle Hinweise

derzeit keine.

Organisatorisches

  • Termin:  Donnerstag, 10-12 Uhr, Kä/0.110; Freitag, 8-10 Uhr, F384
    Kä/0.110 befindet sich in der Kärntenstraße 7 (Fachbereich Soziale Arbeit)
  • Übung:  Im Schnitt 14-tägig, freitags im Wechsel mit der Vorlesung


Allgemeines

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen (nicht nur) der Wirtschaftswissenschaften und Informatik. Die Vorlesung richtet sich aufgrund der vielfältigen Anwendungsbereiche an alle Studierende ab dem zweiten Semester, die sich mit den Begriffen und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut machen wollen/sollen/müssen.

Insbesondere im Fach "Kommunikationssysteme und Rechnernetze" und hier vor allem bei der Modellierung und Analyse von Kommunikationsnetzen und Verteilten Systemen ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung von großer Bedeutung. Die Vorlesung vermittelt Grundlagen, die spätestens beim Einstieg in das S-Fach vorausgesetzt werden.

Auch in den Veranstaltungen "Algorithmen und Datenstrukturen" (Grundstudium) sowie "Datenkommunikation" (AWI), die von der Professur ebenfalls jeweils im Sommersemester angeboten werden, ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung an vielen Stellen nützlich und wichtig. Zudem ist sie sicher hilfreich beim Verständnis der Statistik.

Empfohlen wird daher die Teilnahme an der Wahrscheinlichkeitsrechnung bereits im Grundstudium, parallel zu Algorithmen und Datenstrukturen, spätestens jedoch parallel zur Datenkommunikation.

Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden Schulkenntnisse in Mathematik und Kenntnisse der Wirtschaftsmathematik I (Analysis) - für die stetigen Zufallsvariablen im zweiten Vorlesungsteil insbesondere Differential- und Integralrechnung - sowie rudimentäre Kenntnisse der Wirtschaftsmathematik II (Lineare Algebra).

Statistik wird weder behandelt noch vorausgesetzt.

Inhalt

Die Vorlesung behandelt grundlegende Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Probleme des "realen Lebens". Ziel der Vorlesung ist es, nicht nur Formeln vom Himmel fallen zu lassen und diese dann nach Schema F anzuwenden. Es soll ein echtes Verständnis des Stoffes und damit die Fähigkeit zur selbständigen Anwendung auf neue, nicht behandelte Problemstellungen vermittelt werden. Zentrales Element dabei ist die begleitende Übung und insbesondere das eigenständige Lösen von Übungsaufgaben.

Die Vorlesung beginnt mit grundlegenden Begriffen der Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse wie elementarer Kombinatorik, Laplace-Wahrscheinlichkeit, geometrischer Wahrscheinlichkeit, axiomatischer Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov, bedingter Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen. Nach einer allgemeinen Einführung des Begriffs der Zufallsvariablen werden zunächst diskrete Zufallsvariablen, ihre Verteilungen, gemeinsame Verteilungen, Randverteilungen, bedingte Verteilungen und Kenngrößen wie Erwartungswert, Varianz, Kovarianz und höhere Momente sowie erzeugende Funktionen besprochen.  Anschließend erfolgt in natürlicher Weise die Erweiterung auf Beschreibungen zeitlich dynamischer Vorgänge durch sogenannte Irrfahrten (Random Walks) und diskrete Markovketten. Analog werden dann entsprechende Begriffe und Methoden für stetige Zufallsvariablen entwickelt. Je nach verbleibender Zeit werden zudem stetige Markovketten, Martingale, Ungleichungen, Grenzwertsätze und Gesetze großer Zahlen behandelt.

Vorlesungsfolien

werden hier vorlesungsbegeleitend zur Verfügung gestellt.

0 Einführung
   0.1 Eine kurze Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse
   1.1 Laplace-Wahrscheinlichkeit
   1.2 Geometrische Wahrscheinlichkeit
   1.3 Axiomatische Wahrscheinlichkeit
   1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit
   1.5 Unabhängige Ereignisse
   1.6 Zufallsvariablen
2 Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen
   2.1 Verteilung und Verteilungsfunktion
   2.2 Gemeinsame Verteilung und Randverteilung
   2.3 Bedingte Verteilung und Unabhängigkeit
   2.4 Verteilungen spezieller Funktionen
   2.5 Kenngrößen
   2.6 Bernoulli-Experimente
3 Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen
   3.1 Dichte und Verteilungsfunktion
   3.2 Gemeinsame Verteilung und Randverteilung
   3.3 Bedingte Verteilung und Unabhängigkeit
   3.4 Verteilungen spezieller Funktionen
   3.5 Kenngrößen
   3.6 Spezielle stetige Verteilungen
4 Markovketten (komplett - aktualisiert 24.07.06)
   4.1 Grundlagen Markovscher Prozesse
   4.2 Diskrete Markovketten
   4.3 Stetige Markovketten
Anwendung: Stochastische Simulation biochemischer Reaktionssysteme

Vorlesungsfolien bilden nur ein Gerippe. Sie ersetzen nicht den Besuch der Vorlesung und das Lesen der Literatur und sind allein nicht ausreichend für das Verständnis des Stoffes und die Fähigkeit der Anwendung.

Literatur

Die Vorlesung richtet sich nicht nach einem speziellen Buch. Aus der Vielzahl von Büchern zur Wahrscheinlichkeitsrechnung sind die folgenden als vorlesungsbegleitende und weiterführende Literatur besonders geeignet. Es sind zumeist die neuesten Auflagen angegeben. Ältere Auflagen sind jedoch im wesentlichen gleichwertig.

Vorlesungsbegleitendes

  • Karl Bosch: Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Vieweg, 5. Auflage, 2003.
  • Herold Dehling, Beate Haupt: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Springer, 2. Auflage, 2004.
  • Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell: Introduction to Probability. PDF-Version, 2003.
  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger - Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg, 5. Auflage, 2004.
  • Kishor S. Trivedi: Probability and Statistics with Reliability, Queuing and Computer Science Applications. Wiley, 2nd edition, 2001.
    [ PowerPoint-Präsentationen als PDF ]

Klassiker, ergänzend und weiterführend

  • William Feller: An Introduction to Probability and its Applications. Volume I+II. Wiley & Sons, 1968, 1971.
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1989.
  • Boris W. Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, 10. korrigierte Auflage, 1997.

Weiterführendes (zum Teil auch viel weiter)

  • Pierre Bremaud: Markov Chains. Springer, 1999.
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik - Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. De Gruyter Lehrbuch, 2. bearbeitete Auflage, 2004.
  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg, 2003.

Mathematische Grundlagen

  • Martin Barner, Friedrich Flohr. Analysis I. De Gruyter Lehrbuch, 5. Auflage, 2000.
  • Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A. trivial. Tips und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken. Vieweg, 7. Auflage, 2004.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra - Eine Einführung für Studienanfänger. Vieweg, 15. Auflage, 2005.
  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, 7. Auflage, 2004.
  • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Concrete Mathematics - A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley, 2nd edition, 1994.

Nachschlagewerke

  • Frank E. Beichelt, Douglas C. Montgomery: Teubner-Taschenbuch der Stochastik. Teubner, 2003.
  • Ilja N. Bronstein et al: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch bzw. (neue Auflage) Teubner, 2000, 2003.

Unterhaltsames und Populärwissenschaftliches

  • Hans-Peter Beck-Bornholdt, Hans-Hermann Dubben: Der Schein der Weisen. Rowohlt, 3. Auflage, 2004.
  • Peter L. Bernstein: Against the Gods. The Remarkable Story of Risk. Wiley & Sons, 1996, 1998.
  • Albrecht Beutelspacher: In Mathe war ich immer schlecht. Vieweg, 3. Auflage, 2001.
  • Hans-Hermann Dubben, Hans-Peter Beck-Bornholdt: Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit. Rowohlt, 2005.
  • Walter Krämer: So lügt man mit Statistik. Piper, 2000.
  • George Polya: Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. Francke, 1949, 1995.
  • Gero von Randow: Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, 1992, 2004.
  • Lew Tarassow: Wie der Zufall will? Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit. Spektrum, 1998.
  • Jurij B. Tschernjak: Die Hühnchen von Minsk und 99 andere hübsche Probleme. Rowohlt, 4. Auflage, 2004.